Родился 7 сентября 1922 года в селе Урусово (ныне Туринского района Свердловской области) в крестьянской семье. Учился в сельскохозяйственном техникуме. В 1942 году закончил Тамбовское пехотное училище и до самого конца Великой Отечественной войны находился на фронте (командир взвода, начштаба батальона 137-й стрелковой дивизии). Был дважды ранен. Демобилизован в звании капитана.
Демобилизовавшись из армии, Акулов поступил на филологический факультет Свердловского педагогического института. После его окончания (1950) работал учителем, директором средней школы, заведующим сельхозотделом в газете «Уральский рабочий», сотрудником журнала «Урал». Дебютировал повестью «Двумя дорогами» (1958) о послевоенной деревне. Член СП СССР с 1963 года.
Закончил Высшие литературные курсы. В 1966—1970 годах Акулов возглавлял журнал «Уральский следопыт».
В конце 60-х писатель купил себе дачу в пос. Семхоз близ Сергиева Посада, был близок к литературному кружку «Радонежцы».
И. И. Акулов умер 25 декабря 1988 года в Москве.

Перу Акулова принадлежат романы «В вечном долгу», «Крещение», «Касьян Остудный», «Ошибись, милуя».
Среди многочисленных художественных произведений о Великой Отечественной войне роман Акулова «Крещение» выделяется объективной правдой, в которой соединено трагическое и героическое.
Значимость и силу роману «Крещение» придает не только событийная правда, но и классическая художественность, богатство русского народного языка, объемность и разнообразие созданных характеров и образов.
Все это в равной степени относится и к роману Акулова «Касьян Остудный», где писатель поднимает глубинные пласты советской действительности, положение русской деревни в драматический период её жизни — переломный этап коллективизации.
По мнению критика Наума Лейдермана, «Иван Акулов — единственный на Урале настоящий р о м а н и с т (после Мамина-Сибиряка). Он постепенно шел к своему жанру — сначала был тривиальный соцреалистический роман „В вечном долгу", потом — мучительная робота над „Крещением", тут просто физически ощущаешь, как от части к части растет мастерство Акулова-эпика. Роман „Касьян Остудный" не смог пробиться на страницы „Урала" (его вообще не пропустили ни в один журнал), но ведь это же замечательная вещь. А возьмите критические книги или новые учебники и пособия по русской литературе 70—80-х годов. Там как только заводят речь о современных романах, посвященных „великому перелому", сразу упираются в „Кануны" Белова, „Мужики и бабы" Можаева, ну ещё помянут алексеевских „Драчунов"… Но ведь „Касьян остудный" композиционно куда крепче скроен, а какая там пластика — словно густой луг, где каждая травинка, каждый лютик выписаны. А собственно историческая концепция акуловского романа куда многомернее, сложнее, чем в других романах на сходную тему».